प्रश्न 2. सिद्ध कीजिए किन्हीं दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के मध्य अनन्त परिमेय संख्याएँ विद्यमान होती हैं।
उत्तर– सर्वप्रथम माना कि x > 0 तथा x
y—x > 0
अब R में आर्किमिडीय गुणधर्म से ∃ q∈ N ताकि
q(y—x) > 1 ....(1)
पुनः चूँकि x > 0 ⇒ q x > 0 अतः एक अद्वितीय पूर्णांक p ऐसा होगा कि
p —1< qx < p .....(2)
(1) और (2) से 1 < q (y-x) एवं p-1< qx को जोड़ने पर 1 + (p - 1)
⇒ p < qy ….(3)
अब (2) और (3) से
qx < p < qy ⇒ x < p/ q < y
अतः एक परिमेय संख्या r = p/q विद्यमान है ताकि x < r < y;
अतः दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के मध्य एक परिमेय संख्या विद्यमान है।
पुनः माना x < 0 ⇒ —x >0 अतः ∃ n ∈ N ताकि n-1 < -x < n
⇒ n + x > 0
तथा x < y ⇒ n+ x < n + y
उपरोक्त के प्रथम भाग से एक परिमेय संख्या s ∈ Q ऐसी विद्यमान होगी कि
n + x < s < n + y ⇒ x< s - n < y
अतः s — n अभीष्ट परिमेय संख्या है।
उक्त विधि से x एवं r तथा r एवं y के मध्य अन्य परिमेय संख्याऐं r1 और r2, हैं। इस विधि का बार-बार प्रयोग करने पर दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के मध्य अनन्त परिमेय संख्याएँ प्राप्त होती हैं।